قاب های جبری و تبدیل فوریه ی کوته زمان جهتی

موضوعات اصلی مطرح شده در این پایان نامه به دو قسمت تقسیم می شوند که هریک مفاهیم و نتایجی جدید به شاخه ای از آنالیز هارمونیک می افزایند. یک قسمت از کار به معرفی توسیعی از قاب های تعمیم یافته موسوم به قاب جبری اختصاص دارد. این گونه ی جدید از قاب ها تبدیل فوریه بر گروه های موضعاً فشرده ی آبلی و تبدیل زک رانیز به عنوان حالاتی خاص دربر می گیرد، بدین مفهوم که هر کدام از تبدیلات مذکور را می توان به عنوان عملگر تحلیل یک قاب جبری در نظر گرفت. این در حالیست که تبدیلات فوق عملگر تحلیل هیچ قاب تعمیم یافته ای نیستند. برای قاب های جبری عملگرهای تحلیل، ترکیب و قاب به همراه مفهوم دوگان متعارفمعرفی شده اند و یک فرمول بازسازی نیز به اثبات رسیده است. همچنین، قضایایی در مورد ساختار نظریه اندازه ای قاب های جبری اثبات شده که مهم ترین آن ها قضیه ای در مورد گسستگی قاب های تعمیم یافته را توسیع می دهد. قسمت دیگر معرفی گونه ای از تبدیل فوریه ی کوته زمان است که امکان مطالعه ی محتوای فرکانس یک سیگنال در جهت مورد نظر را به ما می دهد. این بدان دلیل است که با این تبدیل می توانیم در جهت های دلخواه از توابع مورد مطالعه تبدیل فوریه بگیریم. از اینرو، تبدیل مذکور را تبدیل فوریه ی کوته زمان جهتی نامیده ایم. برای این تبدیل یک رابطه ی تعامد، فرمول های بازسازی ضعیف، نقطه ای و تقریبی اثبات شده و ارتباط آن با تبدیل رادون بدست آمده است. همچنین، نشان داده ایم که با اعمال شرایط قوی تری بر توابع مورد مطالعه، تبدیل فوریه ی کوته زمان جهتی به یک تبدیل فوریه ی کوته زمان یک بعدی تبدیل می شود. بعلاوه، مشابه نامساوی هاوسدورف-یانگ برای تبدیل جهتی به اثبات رسیده است‎.